Faktorisasi

Minggu, 14 Februari 2016

Apa yang terlintas dipikiran kalian saat mendengar kata faktorisasi? Apakah kalian teringat bahasa vikcynisasi? ataukah faktorisasi prima? Saya rasa jika yang terlintas dalam pikiran kalian adalah vickynisasi berarti kalian penggila infoteinment. Tapi jika kalian langsung teringat faktorisasi, berarti kalian tau matematika, entah itu yang bisa matematika ataupun yang membenci matematika. Kalian pasti tau ada istilah faktor, faktorisasi, faktor prima dan faktorisasi prima. Sebenarnya itu adalah istilah yang berbeda. Dalam artikel ini, saya ingin mencoba menjelaskan kepada kalian apa itu faktorisasi.

Dalam matematika, faktorisasi adalah menguraikan suatu objek atau bilangan menjadi suatu objek lain atau bilangan-bilangan lain atau yang disebut faktor, yang jika dikalikan bersama, maka akan menghasilkan bilangan aslinya. Faktor adalah bilangan-bilangan yang bisa membagi habis suatu bilangan atau bisa juga diartikan faktor adalah hasil dari faktorisasi yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan aslinya. Contohnya adalah:

1. Faktorisasi dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.

2. Faktorisasi dari 36 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, dan 36

3. Faktorisasi dari x²+3x+2 adalah (x+1) dan (x+2)

Nah.. dari situ kita bisa tau faktorisasi adalah prosesnya. Sedangkan faktor adalah hasil dari faktorisasi tersebut. Di nomer 1, bilangan 1, 2, 3, 4, 6 dan 12 adalah termasuk faktor dari bilangan 12. Karena bilangan-bilangan tersebut dapat membagi habis bilangan 12. Begitu pula di nomer 2. Jika 36

difaktorisasikan, akan menghasilkan faktor-faktor yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 18, 36. Dan di nomer 3, x+1 dan x+2 termasuk faktor dari x²+3x+2 karena jika x+1 dikali x+2 sama dengan bilangan aslinya yaitu x²+3x+2. Baru pertama kali mendengar istilah membagi habis? Nih saya jelaskan. Membagi habis itu artinya tidak ada sisa dalam proses pembagian. Contohnya seperti berikut ini:

1. 6 dibagi 2 sama dengan 3.

2. 7 dibagi 2 sama dengan 3 sisa 1.

Dari contoh di atas, 2 yang di nomer 1 adalah 2 yang dapat membagi habis 6, sedangkan 2 yang di nomer 2 bukanlah 2 yang dapat membagi habis 7, karena masih memiliki sisa 1. Kurang lebih seperti itu lah makna dari membagi habis. Sekarang kita kembali ke pembahasan awal. Ada istilah faktorisasi prima, ada juga istilah faktor prima. Faktor prima adalah faktor yang termasuk dalam bilangan prima. Contohnya adalah seperti di bawah ini:

Faktorisasi dari 15 adalah 1, 3, 5, dan 15.

1, 3, 5, dan 15 adalah faktor dari 15 atau hasil faktorisasi dari 15. Sedangkan faktor prima dari 15 adalah 3 dan 5. Karena 3 dan 5 termasuk bilangan prima. Sudah tau kan perbedaan faktorisasi, faktor dan faktor prima? Nah sekarang istilah faktorisasi prima dalam FPB dan KPK. Saya akan mengulas sedikit tentang FPB dan KPK terlebih dahulu.

Faktor persekutuan terbesar atau biasa disingkat FPB adalah faktor yang sama yang paling besar dari suatu bilangan. Untuk mencari FPB ini, ada banyak metode. Salah satunya yaitu faktorisasi prima. Nah... apa itu faktorisasi prima? Faktorisasi prima adalah menguraikan seuatu bilangan menjadi perkalian faktor prima saja. Untuk melakukan faktorisasi prima ini, kita bisa menggunakan cara yang disebut dengan pohon faktor. Kalian ingat pohon faktor kan? Kurang lebih gambarnya seperti di bawah ini:

Contoh faktorisasi prima yaitu:

Faktorisasi prima dari 40 adalah 2³×5

Caranya adalah kita buat pohon faktor seperti gambar di samping. Kita taruh 40 dipaling atas, yaitu di huruf A. Lalu kita bagi 40 dengan B. B adalah bilangan prima seperti 2, 3, 5, 7, dan seterusnya. Maka akan menghasilkan C, dan seterusnya ke bawah, kita bagi C dengan bilangan prima lagi, sampai hasil akhirnya bilangan prima juga. Dalam contoh tadi, seperti ini pohon faktornya:

Nah... dari situ lah kita dapat menentukan faktorisasi prima. Faktorisasi prima dari 40 adalah 2×2×2×5 atau 2³×5. Untuk menentukan FPB ada banyak cara dan salah satunya adalah faktorisasi prima ini. Cara lain adalah dengan mencari faktor-faktornya terlebih dahulu lalu cari faktor yang terbesar. Contohnya seperti di bawah ini:

1. Tentukan faktor persekutuan terbesar dari 30 dan 50!

2. Tentukan faktor persekutuan terbesar dari 45 dan 80!

Jawab:

1. kita tentukan dulu faktor dari masing-masing bilangan dengan cara faktorisasi.

Faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30

Faktor dari 50 adalah 1, 2, 5, 10, 25, dan 50

Faktor terbesar yang sama adalah 10. Jadi FPB dari 30 dan 50 adalah 10

2. faktor dari 45 adalah 1, 3, 5, 9, 15, 45

Faktor dari 80 adalah 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, dan 80

Jadi FPB dari 45 an 80 adalah 5. Bisa juga kita mencari FPB dengan faktorisasi prima. Pertama kita tentukan dulu faktorisasi prima dari masing-masing bilangan.

Faktorisasi prima dari 45 adalah 3×3×5

Faktorisasi prima dari 80 adalah 2×2×2×2×5

Kita ambil yang sama dan yang paling sedikit, yaitu 5. Jadi FPBnya adalah 5.

Sekarang kita beralih ke KPK atau kelipatan persekutuan terkecil.

Kelipatan persekutuan terkecil atau biasa disingkat KPK adalah kelipatan dari suatu bilangan yang nilainya sama dan yang paling kecil. Kenapa saya membahas KPK? Kan ini kelipatan, bukan faktorisasi lagi? Teman-teman yang saya hormati.. Itu karena faktorisasi masih berhubungan dengan kelipatan persekutuan terkecil atau KPK. Untuk mencari KPK bisa dengan cara faktorisasi prima. Kita bahas dulu bagaimana cara menemukan KPK dengan cara biasa. Contohnya seperti di bawah ini:

1. tentukan KPK dari 5 dan 7

2. tentukan KPK dari 12 dan 32

Jawaban sebagai berikut:

1. tentukan dulu kelipatan dari masing-masing bilangan

Kelipatan 5 adalah 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 55, 60, 65, 70, 75, dan seterusnya

Kelipatan 7 adalah 7, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, dan seterusnya

Nah.. dari data yang di atas, kita tau nilai yang sama adalah 35, 70, dan seterusnya sebenarnya masih ada. Tapi yang kita butuhkan adalah yang paling kecil, yaitu 35. Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari 5 dan 7 adalah 35.

2. kelipatan 12 adalah 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, dan seterusnya.

Kelipatan 32 adalah 32, 64, 96, 128, 160, 192, 224 dan seterusnya.

Jadi KPKnya adalah 96.

cara lain adalah menggunakan faktorisasi prima. Kita tentukan terlebih dahulu faktorisasi prima dari masing-masing bilangan.

Faktorisasi prima dari 12 adalah 2²×3

Faktorisasi prima dari 32 adalah 2⁵

Untuk menentukan KPKnya, kita kalikan semua bilangan prima, jika ada bilangan yang sama, kita pilih pangkatnya yang terbesar. Untuk contoh yang di atas, kelipatan persekutuan terkecil yang didapat menggunakan dengan menggunakan faktorisasi prima adalah 2⁵ dikali 3, yaitu 96. Lebih cepat dari cara yang pertama kan.. itulah sebabnya saya membahas KPK di artikel ini karena faktorisasi bisa berguna untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil.

Sumber:

http://www.rumusmatematikadasar.com/2015/01/cara-menghitung-fpb-dengan-faktorisasi-prima.html

http://lailisallimah.blogspot.co.id/2013/06/faktor-prima-dan-faktorisasi-prima.html

https://id.wikipedia.org/wiki/Faktorisasi

https://id.wikipedia.org/wiki/Faktorisasi_prima

Turmudi & Erman. 1993. Perkenalan dengan Teori Bilangan. Bandung: Wijayakusumah Khafid, M. 2007. Pelajaran Matematika untuk Sekolah Dasar Kelas IV. Jakarta: Penerbit Erlangga.